stats counter

Δευτέρα, 8 Δεκεμβρίου 2014

Τιμητική διάκριση

Πρόσφατα η ψηφιακή 3η έκδοση του 2014 των 2 τόμων με τίτλο ΄΄Τα Βυζαντινά Μαθηματικά, The codex Vindobonensis phil. gr. 65΄΄, αναγνωρίστηκε από το Πανεπιστήμιο του HARVARD ως ΕΡΓΟ-ΠΗΓΗ για τα Μαθηματικά.
http://lms01.harvard.edu/F/UI94FGBJEB2PMSCBFMKESRHF11J83TXL9CNPFGATA115QNFCB8-03790?func=full-set-set&set_number=018946&set_entry=000001&format=999

Τετάρτη, 22 Οκτωβρίου 2014

Maria Chalkou, «The Mathematical content of the Codex Vindobonensis phil. gr. 65 of the 15th cent. Introduction, Edition and Comments, Byzantine Research Center, Thessaloniki 2006», at "LEXIKON ZUR BYZANTINISCHEN GRÄZITÄT"

 Link (look at mathvind)

The site "LEXIKON ZUR BYZANTINISCHEN GRÄZITÄT"  is the result of a collaboration between the Lexikon zur byzantinischen Gräzität (LBG) published by the Austrian Academy of Sciences (Die Österreichische Akademie der Wissenschaften) and the Thesaurus Linguae Graecae® (TLG®) at the University of California, Irvine.
The LBG is the foremost lexicographical resource in Byzantine Studies mainly covering the period from the 4th to the 15th century A.D. taken from more than 3,000 texts. Seven fascicles have appeared to date, with one more scheduled to appear in 2016. When completed the dictionary will consist of more than 2,000 printed pages, containing approx. 80,000 lemmata.
In March 2012, the LBG and TLG began conversations about digitizing the existing volumes of LBG and linking them to the TLG texts.  The TLG team (Nick Nicholas, Maria Pantelia and John Salatas) worked on converting the files into XML format and incorporating them into the TLG online system. The first six fascicles have been included in this release covering letters A-P. They can be accessed at: http://stephanus.tlg.uci.edu/lbg.
The LBG was initiated by Erich Trapp – in collaboration with Wolfram Hörandner and Johannes Diethart – in the early 1990s. It became a joint project of the Commission for Byzantine Studies at the Austrian Academy of Sciences, the Department of Philology at the University of Bonn and the Department of Byzantine and Modern Greek Studies at the University of Vienna, financially supported by the Austrian National Science Fund (FWF).
Astrid Steiner-Weber, Sonja Schönauer and Maria Cassiotou-Panayotopoulos contributed to the project at Bonn University with the financial support of the German Research Foundation (DFG),. The Lexicon is now continued at the Division of Byzantine Research of the Institute for Medieval Research at the Austrian Academy of Sciences under the guidance of Erich Trapp (Vienna/Bonn). Members of the team in Vienna include Carolina Cupane, Andreas Rhoby and Elisabeth Schiffer.
LBG and TLG® wish to acknowledge the contribution of the Austrian Academy of Sciences that has generously supported the creation of the LBG and has now agreed to its online dissemination for the benefit of the scholarly community.
Maria Pantelia
TLG Director
Link (look at mathvind)
Some details about the writing of the book-source

Πέμπτη, 9 Οκτωβρίου 2014

Byzantine metrology



Ἡ Μετρολογία στὸ Βυζάντιο
Στοιχεῖα ἀπὸ τὸν Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 τοῦ 15ου αἰ.
Τὸ "μοδίον" εἶναι νόμισμα γῆς (κεφ. 224)[1] καὶ ἰσοδυναμεῖ μὲ τὴν ἀξία ἑνὸς  τετραγωνικοῦ ἀγροτεμαχίου πλευρᾶς 10 οὐργιῶν καὶ ἐμβαδοῦ 100 τετρ. οὐργιῶν. Ἰσχύουν οἱ σχέσεις[2]: 1 μοδίον= 2 σχοινία= 40 λίτρες= 200 οὐργίες= 888,73 (ἢ 939,18) τετρ. μέτρα. Τὸ "μοδίον" εἶναι φορολογικὸς ὅρος[3] καὶ ὄχι μονάδα βάρους[4],  γι' αὐτὸ καὶ ἡ ἰσοδυναμία του πρὸς τὶς οὐργίες ἐξαρτᾶται ἀπὸ τὴν ποιότητα τῆς γῆς, δηλαδὴ τοῦ ἐδάφους τοῦ ἀγροῦ. Ἔτσι 1 μοδίον ἀγροῦ μπορεῖ νὰ ἀντιστοιχεῖ σὲ 100, 200, ἢ 288 οὐργίες. Τὸ "μοδίον"  σὲ ὁρισμένα προβλήματα (κεφ. 231) λαμβάνεται καὶ ὡς μονάδα ὄγκου.

Σάββατο, 27 Σεπτεμβρίου 2014

Το επιμορφωτικό υλικό για την αξιολόγηση των διευθυντών σχολικών μονάδων

Τα νομίσματα στο Βυζάντιο κατά τον 15ον αι. σύμφωνα με τον Codex Vindobonensis Gr. 65 του 15ου αι.



Νομίσματα τῆς ἐποχῆς ἀναφέρονται σὲ προβλήματα μετατροπῆς νομισμάτων καὶ  ἀγοραπωλησιῶν. Ὁρισμένα ἀπὸ αὐτὰ κατονομάζονται, ἐνῶ ἄλλα δίδονται μὲ συμβολισμὸ ἀπὸ τὸν συγγραφέα. Τὸ νόμισμα τὸ ὁποῖο συμβολίζεται μὲ τὸ Φ ἰσοδυναμεῖ μὲ 6 ἢ 7 ἢ 8 νομίσματα συμβολιζόμενα μὲ τὸ ΙΙ, τὰ ὁποῖα ὀνομάζονται "χρυσά". Ἕνα ΙΙ ("μεγάλο χρυσὸ") ἔχει (χρήζει) στὴν Κωνσταντινούπολη 24 κάρατα (φ. 43r), τὰ ὁποῖα συμβολίζει μὲ :[1], τὸ δὲ 1: ἔχει 8 τουρνέσια (κεφ. 78)[2]. Στὰ προβλήματα ὅμως συναλλαγῶν ἡ ἰσχύουσα ἰσοτιμία νομισμάτων εἶναι ἡ ἑξῆς: 1 Φ ἔχει 8 ΙΙ χρυσὰ μικρά, 1 ΙΙ χρυσὸ μικρὸ ἔχει 20 κάρατα καὶ 1 κάρατον ἔχει 4 τουρνέσια[3].

Τρίτη, 16 Σεπτεμβρίου 2014

Τα καλύτερα πανεπιστήμια του κόσμου ποιους φοιτητές έχουν;

.............Το ζήτημα όμως είναι βαθύτερο: η δυσφήμηση του ελληνικού πανεπιστημίου υπηρετεί την ανάγκη ιδεολογικής ηγεμονίας του κεφαλαίου. Θολώνει τη νεολαία, τσακίζει τη συνείδησή της, σπέρνει τη μοιρολατρία, και τη στέλνει γραμμή στα λογής ιδιωτικά κολλέγια και στις όλο πρεστίζ διεθνείς τους συνεργασίες. Παγιώνει όλη την κουβέντα περί της δήθεν ανάγκης εισαγωγής της επιχειρηματικότητας και της ανταγωνιστικότητας, νομιμοποιώντας το ιδιωτικό σε όλες του τις εκφάνσεις. Και ακυρώνει τη συλλογικότητα, όπως αυτή θα μπορούσε εν δυνάμει να εκφραστεί γύρω από τον πανεπιστημιακό θεσμό και τη μεταρρύθμισή του. Ξεψυχισμένος, ως φοιτητής, σου απομένει το να παραλάβεις τις σημειώσεις σου από τη ΔΑΠ και την ΠΑΣΠ, να περιμένεις υπομονετικά να πάρεις το πτυχίο σου, και δρόμο. Κι ούτε θα σκεφτείς ποτέ, σαν μάθεις ότι σε πήρανε στο εξωτερικό, ότι κάποιο λιθαράκι θα έβαλε και το ελληνικό σου πανεπιστήμιο.
ΟΛΟ ΤΟ ΑΡΘΡΟ

Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου 2014

Η λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης σύμφωνα με τον Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 του 15ου αι.





Μαθηματικός σχολιασμός τοῦ προβλήματος τοῦ κεφ. 141. (ρμα).
Νὰ εὑρεθοῦν δύο ἀριθμοί, οἱ ὁποῖοι νὰ διαφέρουν κατὰ 3, καὶ πολλαπλασιαζόμενοι νὰ δίνουν 1.
Ἡ διατύπωση τοῦ συγγραφέα εἶναι ἡ ἑξῆς: "ὁ μὲν ἔστω ἔλαττο, ὁ δὲ ἐχέτω 3 πλείω τοῦ ἐλάττονος".
Ὁ συγγραφέας ἀναφέρεται στὴν ἐπίλυση τῆς ἐξίσωσης: χ(χ+3)= 1, ἢ χ2+3χ= 1, τὴν ὁποία καὶ ἐπιλύει μὲ τὴν ἐφαρμογὴ τοῦ κανόνα τῶν πραγμάτων.
Σύμφωνα μὲ αὐτὸν τὸν κανόνα:

Πέμπτη, 14 Αυγούστου 2014

ΓΕΡΜΑΝΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΥ

Αν και οι κατακτημένοι βυζαντινοί πληθυσμοί των Ρωμιών μετέδωσαν πολιτισμό στους βάρβαρους πληθυσμούς του βορά που κατέκτησαν τις περιοχές τους, ακόμη και μέχρι σήμερα αυτός ο εκπολιτισμός δεν μπόρεσε να εξαλείψει το βαρβαρικό πνεύμα. Από την (κατακτημένη) κεντρική και δυτική Ευρώπη έχουν γεννηθεί όλες οι ιδεολογίες, πολιτικές, στάσεις, πρακτικές κλπ που διάβρωσαν και επηρέασαν αρνητικά όλους τους ανθρώπους του πλανήτη. Από Ναζισμό και οργανωμένο δουλεμπόριο μέχρι ρατσισμό και Απαρτχάιντ. Κάποιοι θα έβαζαν και τον Μαρξισμό που είναι αμιγώς γερμανικό προϊόν. Δεν υπάρχει κανένας άλλος λαός στα παγκόσμια χρονικά που να επηρέασε τόσο απάνθρωπα και αρνητικά το σύνολο της Ανθρωπότητας και για τόσο μεγάλες χρονικές περιόδους, όσο επηρέασαν τα επιμέρους κράτη που δημιουργήθηκαν από τους βαρβαρικούς πληθυσμούς Γερμανο-Τευτόνων, Φράγκων, Νορμανδών κλπ.
ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΑΡΘΡΟ ΠΟΥ ΘΑ ΒΡΕΙΤΕ ΕΔΩ

Παρασκευή, 25 Ιουλίου 2014

'The Pythagorean Rule' at BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics Volume 23, Issue 2, 2008

 Το άρθρο ανακοινώθηκε σε Διεθνές Συνέδριο και πρωτοεμφανίστηκε δημοσιευμένο στο περιοδικό
Review of the National (Serbian) Center for Digitization, Pub. Faculty of Mathematics, Belgrade, τεύχος 9 (2006), σελ. 63-70, ISSN: 1820-0109. 

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΕΔΩ

Παρασκευή, 18 Ιουλίου 2014

Ένα ιστορικά δημοφιλές γεωμετρικό πρόβλημα εμφανίζεται για πρώτη φορά σε ελληνικό χειρόγραφο



  •    Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) εἶναι ἕνα ὀγκῶδες χειρόγραφο 250 περίπου πυκνογραμμένων σελίδων μεγέθους Α3, ἀνωνύμου συγγραφέα, τὸ περιεχόμενο τοῦ ὁποίου διδασκόταν πρίν τήν Ἅλωση τῆς Κωνσταντινούπολης σὲ εὐρὺ κοινό προερχόμενο ἀπὸ διάφορα κοινωνικὰ στρώματα, ὅπως συνηθιζόταν ἐκείνη τὴν ἐποχή.

  •  Ἡ σημασία τοῦ χειρογράφου εἶναι αξιόλογη, ἀφοῦ, ὅπως προέκυψε ἀπὸ τὴν διενεργηθεῖσα ἐπιστημονικὴ ἔρευνα πρόκειται κατ' οὐσίαν γιὰ τὴν Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια τῶν Βυζαντινῶν, καὶ μάλιστα τὴν πρώτη Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια.

  •  Ἐπιπλέον ἕνα δεύτερο στοιχεῖο ποὺ ἐνισχύει τὴν ἄποψη ὅτι πρόκειται γιὰ ἕνα σημαντικὸ ἐπιστημονικὸ ἔργο τῆς ἐποχῆς του εἶναι ὅτι ἀπὸ τὰ μέχρι στιγμῆς ἐπιστημονικὰ εὑρήματα προκύπτει πὼς εἶναι τὸ πρῶτο ἑλληνικὸ χειρόγραφο στὸ ὁποῖο ἐμφανίζεται τὸ πρόβλημα (κεφ. 177 (ροζ)) τῆς  κατασκευῆς τετραγώνου ἐγγεγραμμένου σὲ ἰσόπλευρο τρίγωνο, ὥστε ἡ μία του πλευρὰ νὰ ἐφάπτεται μὲ τὴν πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. Βέβαια στὸ χειρόγραφο δὲν καταγράφεται τὸ θεωρητικὸ μέρος τῆς κατασκευῆς, ἀλλὰ ζητεῖται μόνο νὰ ὑπολογισθεῖ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου συναρτήσει τῆς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

Ὁ Μαθηματικὸς Σχολιασμὸς
κεφ. 177. (ροζ). Εὕρεση τῆς πλευρᾶς τοῦ τετραγώνου ὅταν δίδεται πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου τοῦ σχήματος καὶ εἶναι ἴση με 10.
σειρὰ τῶν πράξεων οἱ ὁποῖες παρουσιάζονται στὸ χειρόγραφο, εἶναι ἑξῆς:
10.10= 100, 100.3/4= 75, 75.16= 1200, 75.12= 900, √1200= 34 12/19, √900= 30, 34 12/19-30= 4 12/19= χ, (ὅπου χ εἶναι πλευρὰ τοῦ τετραγώνου).
Σήμερα θὰ ἀντιμετωπίζαμε τὸ ζήτημα ὡς ἑξῆς:


Πέμπτη, 10 Ιουλίου 2014

Ιστορία της γλώσσας των ελληνικών επιστημονικών χειρογράφων



Γιὰ τὴν ἔκδοση τοῦ Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 ἔγινε ἀρχικὰ πιστὴ μεταγραφὴ τοῦ κειμένου τὸ ὁποῖο εἶναι ἐξαιρετικὰ ἀνορθόγραφο. Σὲ δεύτερη φάση ἔγιναν ὅλες οἱ ἀπαραίτητες ὀρθογραφικὲς διορθώσεις μόνο στὰ σημεῖα ὅπου δὲν ἐπηρεαζόταν τὸ φωνητικὸ ἄκουσμα τῶν λέξεων. Π.χ. ὁ συγγραφέας χρησιμοποιεῖ τὴ λέξη "μερισθής", γιὰ νὰ δηλώσει τὸν διαιρέτη κάποιου ἀριθμοῦ καὶ ὄχι τὸν διαιρετέο, ποὺ εἶναι ὁ "μερισθείς". Ἑπομένως τὸ σωστὸ θὰ ἦταν, νὰ γράφαμε "μεριστὴς" (αὐτὸς ποὺ διαιρεῖ), ἀλλὰ αὐτὴ ἡ ἐπέμβαση δὲν ἔγινε, διότι θὰ ἀλλοίωνε τὸ φωνητικὸ ἄκουσμα τῆς λέξης. Τὸ ἴδιο ἰσχύει καὶ γιὰ τὴ λέξη "πραγματευθής", ὁ ὁποῖος δηλώνει τὸν ἔμπορο, δηλαδὴ τὸν πραματευτή, καὶ ἡ ὁποία ἀφέθηκε ὡς εἶχε στὸ πρωτότυπο κείμενο. Ἡ στίξη τέλος προσαρμόσθηκε στὰ σημερινὰ δεδομένα.

Δευτέρα, 7 Ιουλίου 2014

Σχετικά με τη χρήση των αρνητικών αριθμών στο Βυζάντιο



Ἡ χρήση τῶν ἀρνητικῶν ἀριθμῶν στὸ Βυζάντιο
Στὴν ἐνάτη ἑνότητα τοῦ Codex Vindobonensis phil. gr. 65 (κεφ. 135-140) ἔχουμε μεθοδολογίες ἐπίλυσης ἐξισώσεων μέχρι καὶ 4ου βαθμοῦ, γιὰ τὶς ὁποῖες ὁ συγγραφέας δίνει κανόνες, ποὺ ἀφοροῦν σὲ κάθε μορφῆς ἐξίσωση ξεχωριστά. Μάλιστα  δὲν ἀρκεῖται σὲ μία ὁμαδοποίηση τῶν ἐξισώσεων βάσει τοῦ βαθμοῦ τους, ἀλλὰ χωρίζει ἐπιπλέον σὲ ὑποομάδες τὶς ἐξισώσεις τοῦ ἰδίου βαθμοῦ,  ἀναλόγως τῆς μορφῆς τους, καὶ δίνει διαφορετικὸν κανόνα ἐξεύρεσης λύσης γιὰ κάθε ὑποομάδα.

Τετάρτη, 2 Ιουλίου 2014

Η οχυρωματική-πολιορκητική τέχνη στο Βυζάντιο


Στον codex vindobonensis phil. gr. 65 το Πυθαγόρειο Θεώρημα αναφέρεται ως ΄κανών της σκάδρας΄, όπου κατά τον ανώνυμο συγγραφέα ΄σκάδρα΄σημαίνει ΄τετράγωνο΄. Οι εφαρμογές αυτού του θεωρήματος σχετίζονται και με προβλήματα της πολιορκητικής- οχυρωματικής τέχνης. Είναι δε ενδεικτικό ότι οι εκφωνήσεις αυτών των προβλημάτων βρίσκονται στα περιεχόμενα του κώδικα, αλλά τα αντίστοιχα φύλλα που περιέχουν τις λύσεις τους έχουν αφαιρεθεί (κλαπεί;) από το χειρόγραφο. Αυτό αποκτά ιδιαίτερη σημασία αν συνδυαστεί με το ότι το χειρόγραφο γράφηκε περίπου 20 χρόνια πριν από την άλωση της Κωνσταντινούπολης.
Στη συνέχεια παραθέτω τις εκφωνήσεις αυτών των προβλημάτων ως έχουν, για να σχηματίσουμε μιαν ιδέα σχετικά με τις κατασκευές που αφορούσαν σε πολεμικά ζητήματα, αλλά και να παρατηρήσουμε τις ασάφειες στις διατυπώσεις των εκφωνήσεων των προβλημάτων στον κώδικα 65.

Τρίτη, 1 Ιουλίου 2014

Τα σχολεία και οι μαθητές στο Βυζάντιο



Τὰ σχολεῖα κατὰ τοὺς βυζαντινοὺς χρόνους λειτουργοῦσαν κυρίως σὲ χώρους ἐκκλησιαστικούς. Οἱ μαθητὲς ἔμεναν συνήθως μέσα σὲ αὐτὰ[22] καὶ ἔτσι εἶχαν τὴν δυνατότητα νὰ ἀναπτύξουν στενὲς σχέσεις μεταξὺ τους, οἱ ὁποῖες συνέβαλαν στὴ δημιουργία κλίματος ποὺ εὐνοοῦσε τὶς ἐπιστημονικὲς συζητήσεις[23] καὶ τὴν πολύωρη ἐνασχόληση μὲ τὰ γράμματα[24]. Βέβαια, ὅπως προκύπτει ἀπὸ τὸν βιενναῖο ἑλλ. φιλ. κώδ. 65 (15ος αἰ.)[25], φαίνεται νὰ ὑπῆρχαν καὶ μαθητές, οἱ ὁποῖοι γιὰ νὰ σπουδάσουν μετακινοῦνταν σὲ ἄλλη πόλη, ὅπου κατοικοῦσαν πολλοὶ μαζὶ στὸν ἴδιο χῶρο πληρώνοντας ἐνοίκιο.
Σχετικὰ μὲ τὸ εἶδος τῶν μαθητῶν γνωρίζουμε ὅτι

Σάββατο, 28 Ιουνίου 2014

A rare mathematical method for the distribution of profits to the shareholders of a company





Ἡ ἕκτη ἑνότητα στό χειρόγραφο (κεφ. 103-106) περιλαμβάνει προβλήματα μερισμοῦ καὶ  ἑταιρείας, οἱ ρίζες τῶν ὁποίων ἀνάγονται στὴν ἀρχαιότητα. Π.χ. στὸν Πάπυρο τοῦ Ἀχμὶμ περιέχονται κανόνες μερισμοῦ[1] ἀλλὰ καὶ προβλήματα ἑταιρείας σύμφωνα μὲ τὶς αἰγυπτιακὲς μεθόδους[2]. Μὲ τέτοιου εἴδους προβλήματα ἀσχολήθηκε καὶ ὁ Ἄραβας Ἀλ Χουαρίζμι[3] καθὼς καὶ ὁ Ἰνδὸς Srïdhara[4].
Tὰ προβλήματα μερισμοῦ καὶ ἑταιρείας εἶναι ἐφαρμογὲς τῆς μεθόδου τῶν τριῶν. Ἑπομένως, οἱ τυχὸν ἐπιδράσεις, τὶς ὁποῖες ἔχει δεχθεῖ ὁ συγγραφέας ἀναφέρονται τελικῶς σ' αὐτὴ τὴ μέθοδο, καὶ εἰδικώτερα σ' ἐκείνη τῶν ἀναλογιῶν.

Τρίτη, 24 Ιουνίου 2014

When a mathematical method is a good tax policy in Byzantium



Α Byzantine mathematical method of calculating the area of ​​a geometric shape related to the determination of the tax
Στὸ κεφάλαιο 222 τοῦ Codex Vindobonensis phil. gr. 65 ἀνώνυμος συγγραφέας ἀναφέρεται καὶ σὲ ἐμβαδὰ συνθέτων σχημάτων. Τὰ σχήματα αὐτὰ ἀποτελοῦνται ἀπὸ ἄλλα ἁπλούστερα (τρίγωνα, τετράγωνα, παραλληλόγραμμα, κύκλους, κ. ), τῶν ὁποίων τὸ ἐμβαδὸν ὑπολογίζεται μὲ τὶς μεθόδους ποὺ συγγραφέας ἔχει ἤδη περιγράψει στὰ ἀντίστοιχα κεφάλαια. Παρατηρεῖ δέ, πὼς γενικὰ δὲν ὑπάρχει σύνθετο σχῆμα τοῦ ὁποίου τὸ ἐμβαδὸν νὰ μὴν ὑπολογίζεται μὲ αὐτὲς τὶς μεθόδους.
Ὡς γνωστόν, οἱ Βυζαντινοὶ ὑπολόγιζαν κατὰ προσέγγιση τὸ ἐμβαδὸν ἐκτάσεων ἀκανονίστου σχήματος, βάσει τῆς περιμέτρου τους[1].