stats counter

Παρασκευή, 25 Ιουλίου 2014

'The Pythagorean Rule' at BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics Volume 23, Issue 2, 2008

 Το άρθρο ανακοινώθηκε σε Διεθνές Συνέδριο και πρωτοεμφανίστηκε δημοσιευμένο στο περιοδικό
Review of the National (Serbian) Center for Digitization, Pub. Faculty of Mathematics, Belgrade, τεύχος 9 (2006), σελ. 63-70, ISSN: 1820-0109. 

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΕΔΩ

Παρασκευή, 18 Ιουλίου 2014

Ένα ιστορικά δημοφιλές γεωμετρικό πρόβλημα εμφανίζεται για πρώτη φορά σε ελληνικό χειρόγραφο



  •    Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) εἶναι ἕνα ὀγκῶδες χειρόγραφο 250 περίπου πυκνογραμμένων σελίδων μεγέθους Α3, ἀνωνύμου συγγραφέα, τὸ περιεχόμενο τοῦ ὁποίου διδασκόταν πρίν τήν Ἅλωση τῆς Κωνσταντινούπολης σὲ εὐρὺ κοινό προερχόμενο ἀπὸ διάφορα κοινωνικὰ στρώματα, ὅπως συνηθιζόταν ἐκείνη τὴν ἐποχή.

  •  Ἡ σημασία τοῦ χειρογράφου εἶναι αξιόλογη, ἀφοῦ, ὅπως προέκυψε ἀπὸ τὴν διενεργηθεῖσα ἐπιστημονικὴ ἔρευνα πρόκειται κατ' οὐσίαν γιὰ τὴν Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια τῶν Βυζαντινῶν, καὶ μάλιστα τὴν πρώτη Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια.

  •  Ἐπιπλέον ἕνα δεύτερο στοιχεῖο ποὺ ἐνισχύει τὴν ἄποψη ὅτι πρόκειται γιὰ ἕνα σημαντικὸ ἐπιστημονικὸ ἔργο τῆς ἐποχῆς του εἶναι ὅτι ἀπὸ τὰ μέχρι στιγμῆς ἐπιστημονικὰ εὑρήματα προκύπτει πὼς εἶναι τὸ πρῶτο ἑλληνικὸ χειρόγραφο στὸ ὁποῖο ἐμφανίζεται τὸ πρόβλημα (κεφ. 177 (ροζ)) τῆς  κατασκευῆς τετραγώνου ἐγγεγραμμένου σὲ ἰσόπλευρο τρίγωνο, ὥστε ἡ μία του πλευρὰ νὰ ἐφάπτεται μὲ τὴν πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. Βέβαια στὸ χειρόγραφο δὲν καταγράφεται τὸ θεωρητικὸ μέρος τῆς κατασκευῆς, ἀλλὰ ζητεῖται μόνο νὰ ὑπολογισθεῖ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου συναρτήσει τῆς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

Ὁ Μαθηματικὸς Σχολιασμὸς
κεφ. 177. (ροζ). Εὕρεση τῆς πλευρᾶς τοῦ τετραγώνου ὅταν δίδεται πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου τοῦ σχήματος καὶ εἶναι ἴση με 10.
σειρὰ τῶν πράξεων οἱ ὁποῖες παρουσιάζονται στὸ χειρόγραφο, εἶναι ἑξῆς:
10.10= 100, 100.3/4= 75, 75.16= 1200, 75.12= 900, √1200= 34 12/19, √900= 30, 34 12/19-30= 4 12/19= χ, (ὅπου χ εἶναι πλευρὰ τοῦ τετραγώνου).
Σήμερα θὰ ἀντιμετωπίζαμε τὸ ζήτημα ὡς ἑξῆς:


Πέμπτη, 10 Ιουλίου 2014

Ιστορία της γλώσσας των ελληνικών επιστημονικών χειρογράφων



Γιὰ τὴν ἔκδοση τοῦ Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 ἔγινε ἀρχικὰ πιστὴ μεταγραφὴ τοῦ κειμένου τὸ ὁποῖο εἶναι ἐξαιρετικὰ ἀνορθόγραφο. Σὲ δεύτερη φάση ἔγιναν ὅλες οἱ ἀπαραίτητες ὀρθογραφικὲς διορθώσεις μόνο στὰ σημεῖα ὅπου δὲν ἐπηρεαζόταν τὸ φωνητικὸ ἄκουσμα τῶν λέξεων. Π.χ. ὁ συγγραφέας χρησιμοποιεῖ τὴ λέξη "μερισθής", γιὰ νὰ δηλώσει τὸν διαιρέτη κάποιου ἀριθμοῦ καὶ ὄχι τὸν διαιρετέο, ποὺ εἶναι ὁ "μερισθείς". Ἑπομένως τὸ σωστὸ θὰ ἦταν, νὰ γράφαμε "μεριστὴς" (αὐτὸς ποὺ διαιρεῖ), ἀλλὰ αὐτὴ ἡ ἐπέμβαση δὲν ἔγινε, διότι θὰ ἀλλοίωνε τὸ φωνητικὸ ἄκουσμα τῆς λέξης. Τὸ ἴδιο ἰσχύει καὶ γιὰ τὴ λέξη "πραγματευθής", ὁ ὁποῖος δηλώνει τὸν ἔμπορο, δηλαδὴ τὸν πραματευτή, καὶ ἡ ὁποία ἀφέθηκε ὡς εἶχε στὸ πρωτότυπο κείμενο. Ἡ στίξη τέλος προσαρμόσθηκε στὰ σημερινὰ δεδομένα.

Δευτέρα, 7 Ιουλίου 2014

Σχετικά με τη χρήση των αρνητικών αριθμών στο Βυζάντιο



Ἡ χρήση τῶν ἀρνητικῶν ἀριθμῶν στὸ Βυζάντιο
Στὴν ἐνάτη ἑνότητα τοῦ Codex Vindobonensis phil. gr. 65 (κεφ. 135-140) ἔχουμε μεθοδολογίες ἐπίλυσης ἐξισώσεων μέχρι καὶ 4ου βαθμοῦ, γιὰ τὶς ὁποῖες ὁ συγγραφέας δίνει κανόνες, ποὺ ἀφοροῦν σὲ κάθε μορφῆς ἐξίσωση ξεχωριστά. Μάλιστα  δὲν ἀρκεῖται σὲ μία ὁμαδοποίηση τῶν ἐξισώσεων βάσει τοῦ βαθμοῦ τους, ἀλλὰ χωρίζει ἐπιπλέον σὲ ὑποομάδες τὶς ἐξισώσεις τοῦ ἰδίου βαθμοῦ,  ἀναλόγως τῆς μορφῆς τους, καὶ δίνει διαφορετικὸν κανόνα ἐξεύρεσης λύσης γιὰ κάθε ὑποομάδα.

Τετάρτη, 2 Ιουλίου 2014

Η οχυρωματική-πολιορκητική τέχνη στο Βυζάντιο


Στον codex vindobonensis phil. gr. 65 το Πυθαγόρειο Θεώρημα αναφέρεται ως ΄κανών της σκάδρας΄, όπου κατά τον ανώνυμο συγγραφέα ΄σκάδρα΄σημαίνει ΄τετράγωνο΄. Οι εφαρμογές αυτού του θεωρήματος σχετίζονται και με προβλήματα της πολιορκητικής- οχυρωματικής τέχνης. Είναι δε ενδεικτικό ότι οι εκφωνήσεις αυτών των προβλημάτων βρίσκονται στα περιεχόμενα του κώδικα, αλλά τα αντίστοιχα φύλλα που περιέχουν τις λύσεις τους έχουν αφαιρεθεί (κλαπεί;) από το χειρόγραφο. Αυτό αποκτά ιδιαίτερη σημασία αν συνδυαστεί με το ότι το χειρόγραφο γράφηκε περίπου 20 χρόνια πριν από την άλωση της Κωνσταντινούπολης.
Στη συνέχεια παραθέτω τις εκφωνήσεις αυτών των προβλημάτων ως έχουν, για να σχηματίσουμε μιαν ιδέα σχετικά με τις κατασκευές που αφορούσαν σε πολεμικά ζητήματα, αλλά και να παρατηρήσουμε τις ασάφειες στις διατυπώσεις των εκφωνήσεων των προβλημάτων στον κώδικα 65.

Τρίτη, 1 Ιουλίου 2014

Τα σχολεία και οι μαθητές στο Βυζάντιο



Τὰ σχολεῖα κατὰ τοὺς βυζαντινοὺς χρόνους λειτουργοῦσαν κυρίως σὲ χώρους ἐκκλησιαστικούς. Οἱ μαθητὲς ἔμεναν συνήθως μέσα σὲ αὐτὰ[22] καὶ ἔτσι εἶχαν τὴν δυνατότητα νὰ ἀναπτύξουν στενὲς σχέσεις μεταξὺ τους, οἱ ὁποῖες συνέβαλαν στὴ δημιουργία κλίματος ποὺ εὐνοοῦσε τὶς ἐπιστημονικὲς συζητήσεις[23] καὶ τὴν πολύωρη ἐνασχόληση μὲ τὰ γράμματα[24]. Βέβαια, ὅπως προκύπτει ἀπὸ τὸν βιενναῖο ἑλλ. φιλ. κώδ. 65 (15ος αἰ.)[25], φαίνεται νὰ ὑπῆρχαν καὶ μαθητές, οἱ ὁποῖοι γιὰ νὰ σπουδάσουν μετακινοῦνταν σὲ ἄλλη πόλη, ὅπου κατοικοῦσαν πολλοὶ μαζὶ στὸν ἴδιο χῶρο πληρώνοντας ἐνοίκιο.
Σχετικὰ μὲ τὸ εἶδος τῶν μαθητῶν γνωρίζουμε ὅτι